# 第 1 课简要解析清单

日期：260718

课程：M01-L01 三角化简：先判断公式

用途：供网站第 1 课页面显示“答案 + 方法提示”。本版是简要解析，不替代正式详解讲义。

## 状态说明

- 18 题均已补“第一眼看什么、用哪个公式、关键步骤、答案”。
- `L01-P02` 是多选题，答案为 `A、C、D`。
- `L01-H04` 题图有裁切风险，解析先按已复核答案写，仍需重截题图或人工核对完整题干。
- `L01-H06` 是补充作业题，不是原作业页题。

## 解析表

| 题目ID | 环节 | 答案 | 第一眼看什么 | 简要解析/方法提示 | 卡点标签 | 状态 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| L01-D01 | 课前诊断 | `-√10/5` | 已知 `tanθ=1/3`，先把 `sinθ、cosθ` 同角化。 | `θ∈(0,π/2)`，可设 `sinθ=k, cosθ=3k`，由 `sin²θ+cos²θ=1` 得 `k=1/√10`，所以 `sinθ-cosθ=1/√10-3/√10=-2/√10=-√10/5`。 | 同角关系；tan=sin/cos；计算执行 | 可用于原型 |
| L01-D02 | 课前诊断 | `2/3` | 图像交点题，先把交点条件转成三角方程。 | 交点满足 `6cosx=5tanx=5sinx/cosx`，先化成 `6cos²x=5sinx`。令 `s=sinx`，用 `cos²x=1-s²`，得 `6(1-s²)=5s`，解出符合区间的 `s=2/3`。 | 条件转化；图像交点；第一步选择 | 可用于原型，题意阅读量偏大 |
| L01-D03 | 课前诊断 | `B` | 出现 `cosα/(cosα-sinα)`，先除以 `cosα` 转成 `tanα`。 | `cosα/(cosα-sinα)=1/(1-tanα)=√3`，得 `tanα=1-1/√3`。再用 `tan(α+π/4)=(tanα+1)/(1-tanα)`，结果为 `2√3-1`，选 `B`。 | 角关系观察；诱导/和角公式 | 可用于原型 |
| L01-D04 | 课前诊断 | `C` | 已知 `tanθ`，整题都转成 `tanθ`。 | 设 `t=tanθ=1/2`。`sinθcosθ=t/(1+t²)=2/5`，`cos2θ=(1-t²)/(1+t²)=3/5`。所以 `(tanθ+sinθcosθ)/cos2θ=(1/2+2/5)/(3/5)=3/2`，选 `C`。 | 同角关系；化简；计算执行 | 可用于原型 |
| L01-D05 | 课前诊断 | `D` | 分式里全是 `sin、cos` 的幂，先设 `t=tanθ`。 | 原式可化为 `(tan⁴θ+1)/(tanθ(tan²θ-1))`。因 `θ∈(0,π/4)`，`0<t<1`，分母为负。继续配形或求最值，可得最大值为 `-2√2`，选 `D`。 | 结构观察；最值；公式选择 | 偏难，建议调到例题或当堂练 |
| L01-E01 | 例题 | `A` | 已知 `sinα+2cosα=-1`，先用平方关系求 `sinα、cosα`。 | 由 `sinα=-1-2cosα` 代入 `sin²α+cos²α=1`，得 `cosα=-4/5, sinα=3/5`。所以 `tanα=-3/4`，再用 `tan2α=2tanα/(1-tan²α)=-24/7`，选 `A`。 | 条件转化；tan2α；公式选择 | 可用于例题带做 |
| L01-E02 | 例题 | `C` | 先看角关系：`cos(2α+π/2)` 和 `cos(π/2-β)、sin(π/2+β)` 都能化简。 | `cos(2α+π/2)=-sin2α`，右侧化为 `tanβ`，所以 `tanβ=-sin2α`。目标式变为 `-(5-cos²α)/(sin2α)`，再用基本不等式/配形求最大值，得 `-2√5`，选 `C`。 | 诱导公式；最值；参数关系 | 可用于例题带做，需老师讲推导 |
| L01-P01 | 当堂练 | `C` | 看到 `f(x+2)=-f(-x)`，先判断函数结构的对称中心/平移关系。 | `(x-a)²` 的中心是 `x=a`，条件要求整体关于平移后的结构匹配，先确定 `a=1`，再由余弦部分的符号关系推出 `sin(φ+a)=1`，所以 `[sin(φ+a)]²⁰²⁵=1`，选 `C`。 | 函数条件转化；诱导关系 | 可用于当堂练 |
| L01-P02 | 当堂练 | `A、C、D` | 多选题，先把 `n` 的奇偶和周期分开判断。 | `f(x)=sin(2x+nπ/2)+2cos²x`。分别看 `n` 为奇数、偶数时的图像结构、周期和最值。核对四个命题：`A` 正确，`B` 不恒成立，`C` 正确，`D` 正确。 | 周期；最值；单调性；分类讨论 | 多选题，网站必须支持多选 |
| L01-P03 | 当堂练 | `C` | 已知 `tanα=2tan(π/5)`，先把目标式的角都转成与 `π/5` 有关。 | 将 `cos(α-3π/10)` 和 `sin(α-π/5)` 展开，统一用 `tanα` 和 `tan(π/5)` 表示；代入 `tanα=2tan(π/5)` 后化简，结果为 `3`，选 `C`。 | 和差公式；tan关系 | 可用于当堂练 |
| L01-P04 | 当堂练 | `C` | 看到 `(1+sinβ)/cosβ`，先想到半角公式。 | `(1+sinβ)/cosβ=tan(π/4+β/2)`。已知 `tanα=(1+sinβ)/cosβ` 且 `α,β∈(0,π/2)`，所以 `α=π/4+β/2`，即 `2α-β=π/2`，选 `C`。 | 半角关系；角关系推导 | 可用于当堂练 |
| L01-U01 | 上传过程题 | `-2√2/3` | 已知 `tanα+tanβ` 和 `tanαtanβ`，先求 `tan(α+β)`，再判断象限。 | `tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=4/(1+√2)`。因为 `α` 第一象限、`β` 第三象限，需要结合象限确定 `sin(α+β)` 为负，化简得 `sin(α+β)=-2√2/3`。 | 和差公式；象限判断；过程表达 | 适合上传过程题 |
| L01-H01 | 课后作业 | `-3/10` | 已知 `tan(θ+π/4)`，先用和角正切反求 `tanθ`。 | 设 `t=tanθ`，`(t+1)/(1-t)=1/2`，解得 `t=-1/3`。再用 `sinθcosθ=t/(1+t²)`，得 `-3/10`。 | 同角关系；tan变换 | 可用于作业 |
| L01-H02 | 课后作业 | `1` | 已知 `tanα=2`，把所有 `sin、cos、cos2α` 都转成 `tanα`。 | 设 `t=tanα=2`。`sin2α=2t/(1+t²)`，`sin²α、sinαcosα、cos2α` 也都用 `t` 表示，代入原式化简，结果为 `1`。 | 同角关系；二倍角；化简 | 可用于作业 |
| L01-H03 | 课后作业 | `(1+2√6)/6` | 已知 `sin(α+π/3)=1/3`，先判断 `α+π/3` 的象限。 | `α∈(π/2,π)`，所以 `α+π/3∈(5π/6,4π/3)`，结合正弦为正，取第二象限，`cos(α+π/3)=-2√2/3`。再用 `sinα=sin((α+π/3)-π/3)`，得 `(1+2√6)/6`。 | 诱导公式；象限判断 | 可用于作业 |
| L01-H04 | 课后作业 | `C` | 题图右侧有裁切风险，先按已复核答案处理，正式上线前必须重截。 | 本题核心是用和差公式把条件中的 `cos(π/4+α)`、`cos(π/4-β)` 转成 `sin、cos` 关系，再结合角范围判断符号。已复核答案为 `5√3/9`，选 `C`。 | 和差公式；角关系；象限判断 | 待重截/待人工核对完整题干 |
| L01-H05 | 课后作业 | `B` | 出现 `sinx-siny`、`cosx-cosy`，先用差化积或半角关系。 | 由两式平方相加：`(sinx-siny)²+(cosx-cosy)²=8/9=4sin²((x-y)/2)`，得 `sin((x-y)/2)` 的大小；再结合 `x,y` 为锐角及符号判断，求 `tan((x-y)/2)`，最后用二倍角公式得 `tan(x-y)=-2√14/5`，选 `B`。 | 积化和差；锐角条件；tan差角 | 可用于作业 |
| L01-H06 | 课后作业 | `17√2/50` | 先把 `2α+π/12` 改写成 `2(α+π/6)-π/4`。 | 设 `u=α+π/6`，已知 `cosu=4/5`。因 `α` 为锐角，取 `sinu=3/5`。目标 `sin(2α+π/12)=sin(2u-π/4)`，用 `sin2u=24/25, cos2u=7/25`，得 `(24/25-7/25)/√2=17√2/50`。 | 诱导公式；二倍角；补充同类题 | 补充题，需标注非作业页原题 |

## 网站显示建议

题目卡片里不要显示长推导，建议只显示三行：

```text
第一眼：……
方法：……
关键一步：……
```

完整解析可以折叠在“查看解析”中。

## 还需复核

1. `L01-H04` 重新截题或核对完整题干。
2. `L01-D05` 是否从课前诊断移到例题/当堂练。
3. `L01-A01` 到 `L01-A04` 音频片段仍需人工听核。